2026天津高考

函数不等式与乘积数列压轴题源流分析与推广

——刘蒋巍“源与流”命题研究范式实践

作者:刘蒋巍(考研数学“源与流”命题分析范式首创人)

摘要

本文以刘蒋巍“源与流”命题研究范式^[1]为指导， 对一道以指数函数与三角函数为载体的函数综合题进行系统的源流分析与解法重构。原题包含切线方程、区间不等式证明以及乘积数列下界参数最大值三个递进层次。本文从命题源头 (教材原型、思想脉络)出发，梳理其演变路径(参数选取、区间设计、放缩路径隐藏)， 并给出一般化推广:对于函数族  ,证明  及乘积下界  的最优性。本文同时展现解题人视角下的关键突破与思维逻辑，揭示命题转换九法在试题生成与解答中的应用。这一 “源与流”双重视角的分析，为数学试题研究与教学设计提供了可复用的范式。

关键词:指数函数；三角函数；切线放缩；乘积不等式；源流分析；命题转换九法；一般化推广

1. 引言:何为“源与流”命题研究范式

刘蒋巍提出的“源与流”命题研究范式，强调对一道数学试题的考察不应止步于解法, 而应追溯其 源头(教材原型、经典问题、核心思想)，梳理其演变(参数变化、条件弱化加强、背景转换)，并展望其 流向(一般化推广、跨领域迁移、教学转化)。这一范式既服务于命题人——帮助其系统化地创编新题， 也服务于解题人——帮助其理解题目的深层结构, 提高解题洞察力。

本文选取2026年天津市高考数学压轴题第20题作为研究对象，完整呈现这一范式的实践过程。

原题呈现:

已知  。

(1)求  在点  处的切线方程；

(2) 当  时,证明

(3)设  为实数，若  ，恒有

求  的最大值。

2. 源:试题的源头与思想根基

2.1 教材原型

函数不等式  的几何意义是“曲线在切线上方”，这一性质在高等数学教材中作为凸函数的定义或推论出现。同济大学 《高等数学》第七版在介绍函数的凹凸性时指出:若  ,则曲线位于其任意切线的上方。本题第(2)问正是这一性质的直接应用, 只是将函数具体化为  。

指数函数  的泰勒展开 提供了切线放缩  ,这是高中数学中常用的不等式。而  的泰勒展开  给出  ,也为放缩提供了基础。

2.2 核心思想脉络

本题贯穿了三个核心数学思想:

1. 局部线性逼近:切线是函数在一点处的最佳线性逼近,不等式  表明该函数在  附近被其切线从下方控制 (凸函数情形)。

2. 指数型放缩:更强的下界  本质上是将线性逼近 “升级”为指数逼近, 利用了指数函数的自身性质  。

3. 离散化与求和:连续不等式通过取点  离散化，乘积取对数转化为调和数求和, 再通过积分放缩得到简洁的离散下界。

2.3 历史背景

这类“函数不等式  离散化  乘积估计”的命题手法, 在经典分析中屡见不鲜。例如, 利用  证明数列收敛,或利用 Wallis 公式  估计圆周率。本题可视为这一传统在现代考试中的精致化呈现。

3. 流: 试题的演变路径与命题人设计

3.1 参数选取的玄机

命题人选择  而非其他值,基于多重考量:

简洁性:  ,切线斜率简单,最终答案  也是简洁分数。

可证性:在证明指数型下界时，需要验证  ()。

（详见“4.3 第(3)问——指数放缩与最优常数”第一步:寻找指数型下界）右侧的最大模  ,略小于  ,因此当  时明显成立; 当  较小时可借助导数符号完成。若  过小 (如 1/10) , 则常数  接近1,指数型下界  与函数的差距变小，证明难度增加; 若  过大 (如 0.9),则切线斜率 0.1，后续乘积下界增长极慢，题目吸引力下降。

3.2 区间设计的意图

第(2)问的区间是  ,而不是更自然的  。命题人的设计意图包括:

增加一点计算量:负半轴部分不能直接使用  和  得到

0 (因为  时放缩方向不保),需要单独验证  仍然成立。这要求学生具备分段讨论的意识。

与第(3)问呼应:第(3)问中取  0, 所以第(2)问的负半轴实际上对后续没有影响，但它的存在使题目更严谨，也避免了学生直接套用“切线放缩对一切实数成立”的错误认知。

数值巧合:左端点  恰好使  ,保证二阶导为正。

3.3 放缩路径的隐藏线索

第(3)问中,从  到乘积下界  的路径是命题人预设的“华容道”。这条路径要求解题人完成以下跳跃:

1. 从切线不等式  联想到更强的指数型不等式  。

2. 构造  ,通过导数证明单调性。

3. 取 并累乘,转化为调和数。

4. 用积分放缩或“对数均值不等式”可证：  。

以下摘自《江苏高考数学复习指南》（刘蒋巍著，2018年出版）

Hadamard不等式及其特例——对数均值不等式

指数均值不等式：
对数形式：（），

又等价于：（）

引申：当时，，

则，

即：，不难发现调和级数是发散的。

每一步都有逻辑支撑, 但需要解题人主动探索。命题人也准备了其他可能的解法(如直接证明  并调整  ),但指数型放缩是最优的。

4. 解题人视角:关键突破与思维逻辑

4.1 第(1)问——基础操作

直接计算  ,切线  ,化为整式  。

4.2 第(2)问——构造与分段

令  ,则  。

求导得

当  ,故  递增,  递增,  。

当  : 计算  0,故  递增。  。

数值估算: 0,则  0。

因此  恒成立,  递增。

又  ,故当  时  递减, 从而  。

综上, 原不等式成立。

4.3 第(3)问——指数放缩与最优常数

第一步:寻找指数型下界。假设存在  使得  对  成立。

取  ,由  比较得  。

尝试  ，需证  ,即证  。

构造  ,  。

通分后等价于证明

 

令  ,则  ,  。

当  时,  ,故  。

当  时,  ,而  ,故  。

因此  对所有  成立,从而  ,即  。

于是  严格递增,故  ,即  。

第二步:离散化与求和。取  ,得  。累乘得

法1：由对数均值不等式（），令，得：引申：当时，，

则，

即：，不难发现：

法2：积分放缩  

则  故 时不等式恒成立。

第三步: 最优性证明。

若  ,利用  ,可得  。

而  ,由于  ,存在  使  对所有  成立,因此  不能更大。故 。

 

4.4 《金考卷》2026新高考《临考冲刺卷》判断题

这道题的“寻找下界”、“最优性证明”的解法，让我联想到《金考卷》2026新高考《临考冲刺卷》判断题：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

出这道判断题的命题人，对北京卷、天津卷有深入研究，这道判断题与2026年天津卷压轴题有异曲同工之妙：都需要先“寻找确界”，再“最优性证明”。

而这道判断题正是笔者（刘蒋巍）出的，所以我印象深刻。这也体现了“每一步都有逻辑支撑”。

5. 流向: 一般化推广与教学转化

5.1 参数族  的完整推广

将原题中的系数  替换为一般参数 ], 定义

定理 (一般化下界) 。设  ,则对任意  ,有

进而对任意正整数  ，

常数  是最优的,即若  ,则存在  使不等式不成立。

(当  时,  ,此时  , 乘积下界为  ,等号不取但不等式  仍成立。) 证明。

(一) 指数型下界的证明。

令

则  。求导得

由于当  时,  ,故分母  。欲证 ,只需证

两边乘以正数  得

展开右边:

移项:

因为  ,两边除以  得

即

.(★)

因此,要证明对一切  成立, 只需证明不等式  对一切  成立。

构造辅助函数

则  ，且

下面证明  对所有  成立。

当  时,  ,  。因此

由于  ,故  ,且  , 所以  。

当  时,  。另一方面,

因此

于是 对所有  成立。

从而  在  上严格递增，结合  得  对一切  成立,

即不等式 ( ★) 得证。因此对一切  成立。

由知  在  上严格递增。

又  ,故对任意  有  ,即

亦即

(二) 乘积下界的证明。

取  ,由上述不等式得

将  相乘:

,

其中  为第  个调和数。

（法1）利用积分估计: 函数  在区间  上单调递减，故

（法2）由对数均值不等式（），令，得：引申：当时，，

则，

即：，不难发现：

法1、法2均可证明得到：

代入上式得

(三)最优性的证明。

设  。考虑  时乘积的渐近行为。由泰勒展开，当  时，

因此存在常数  和正整数  ,使得对所有  有

于是

其中  为有限常数 (因为  收敛)。从而

由调和数的渐近公式  (  为欧拉常数)，得

即存在常数  使得对充分大的  有

而  ,由于  ,当  充分大时  ,从而

因此不等式  不可能对所有  成立。

故  是使不等式恒成立的最大实数。

5.2 原题为特例

当  时,  ,定理直接给出  ,与原题答案一致。

5.3 进一步推广方向

方向一:将指数底数  改为一般  ，考虑  ,类似可证  在适当条件下成立,此时乘积下界为  。

证明思路: 令  ,求导后等价于证明  ,利用  (当  ) 或更精细的估计。

方向二: 将三角函数  替换为  或其他有界振荡函数  ,满足  ,  。此时切线仍为  ,指数型下界的形式可能变为  或需要调整。一般地,若  ,则  ,但这会给出较弱的下界。更精细的分析依赖于  的具体性质。

方向三: 乘积形式可推广为  ,其中  为正项递减数列,下界可通过求和  与积分比较得到。例如,若  ,则  收敛或发散,乘积下界将呈现不同的增长阶。

6. 命题转换九法溯源(源流范式应用)

刘蒋巍命题转换九法[2]
转换法	在本命题中的体现
条件与结论互换	将切线不等式 改为“若  恒成立，求  最大值”
擦除法	去掉  项，得  ，是更基础的不等式
背景转换	将指数函数替换为幂函数或对数函数，研究类似性质
组合法	将第(2)问的切线不等式与第(3) 问的乘积估计结合，形成综合题
语气转换	恒成立问题改为存在性问题: “是否存在  使 ”
语言转换	将代数不等式用几何语言表述:曲线在切线上方
推广与特殊化	从  推广到
弱化加强	第(2)问区间从  弱化为  增加讨论
动静结合	固定切点  ，考察动点  处的函数值与切线值之差

7. 高观点透视与教学启示

凸分析视角:  在  上是凸函数  ,切线是其全局下界。指数型下界  是凸函数  的切线指数化,体现了 Legendre 变换的思想。事实上,  也是凸函数(可验证其二阶导非负)，其切线为  ,指数化后即得  。

概率论视角:  可视为独立随机变量和矩母函数的乘积，其渐近行为由 Cramér 定理中的速率函数决定,指数  对应大偏差阈值。具体地，若  为独立同分布随机变量,其矩母函数  ,则  与  有关。

教学建议:

1. 在讲解切线放缩时，可先引导学生证明  和  ,然后组合得到原不等式的一种弱形式, 再引入辅助函数求导的精确证明。

2. 乘积部分可设计为探究性课题:让学生猜测  的最大值，并通过计算前几项数值验证的合理性(例如计算  ,3 时的乘积与  比较)。

3. 推广部分可作为学有余力学生的研究性学习材料，体会参数化思想与最优常数的确定方法。可让学生尝试对不同的  值 (如 ) 重复第(3)问,观察答案变化, 进而猜出一般规律。

8. “源流范式”对试题研究的价值

本文以刘蒋巍“源与流”命题研究范式为主线， 完整呈现了一道函数综合题的 源头 (教材原型、思想脉络)、演变(参数选择、区间设计、放缩路径)与 流向(一般化推广、命题转换、教学启示)。这一范式不仅帮助我们理解 “好题是如何炼成的”, 也为教师命题、学生解题、研究者分析提供了系统化的工具。

通过对一道题的双重视角 (命题人、解题人) 解读, 我们得以窥见数学教育中“教”与“学”的深层互动——好的题目既是严谨的数学结构，也是精巧的教学设计。

希望本文能为数学教育工作者提供一种可迁移的研究框架，并在更广泛的试题分析中发挥作用。

参考文献

[1] 周善博, 刘雨晴. 精准赋能助成长 名师导航研数学——理学院举办高等数学学习方法与考研专题讲座[EB/OL]. (2026-05-29)[2025-07-10]. https://lxy.czu.cn/2026/0529/c5673a174580/page.htm.

[2] 命题转换的9种方法在教学中的运用[M]. 刘蒋巍.江西科学技术出版社.2016

作者:刘蒋巍(考研数学“源与流”命题分析范式首创人)

(图为刘蒋巍在常州工学院理学院作高等数学学习方法与考研专题讲座)