刘蒋巍：2026全国1卷压轴题第19题的源与流

作者:刘蒋巍(考研数学“源与流”命题分析范式首创人)

摘要

本文以一道以“位移集”为创新背景的2026全国1卷高考压轴题为“源”，深入剖析其解法本源，揭示其中蕴含的极限思想、确界原理与反证法。进而以定理1的形式将其推广至底数  的情形,并给出完整证明。在“流”的部分，探讨该题与大学数学中Galois连接、无理数遍历性等概念的深层联系，并给出教学建议。文章旨在展示从一道具体题目到一般理论的自然生长过程。

关键词:位移集；抽象函数；确界原理；推广；数学思想方法

1 引言

近年来, 以新定义集合为背景的函数综合题频繁出现在高考、强基计划及竞赛中。这类题目不仅考查学生的阅读理解与符号化能力, 更对逻辑推理和数学思想方法提出了较高要求。本文选取一道典型的“位移集”压轴题(以下简称 “原题”)，从“源”与“流”两个维度展开:先还原题目本意，剖析其解法中的关键步骤；再将其抽象推广，揭示其与大学数学中确界原理、 无理数遍历性以及Galois连接的深刻联系。

2 源:原题及其解法本源

2.1 题目重现

已知函数  的定义域为  ，且当  时  。对任意  ，定义

(1) 若当  时  ,求  ;

(2)  若  是奇函数,且  0,证明  ;

(3) 设  满足:

① 若  ，则  ；

② 当  时  。

(i) 证明  ;

(ii) 证明  在  上严格单调递增。

2.2 解法本源分析

第(1)问 是分段函数与不等式的简单组合, 考查定义理解与分类讨论能力。其本源是“将新定义翻译为已知不等式”。

第(2)问 利用奇函数性质导出  在正负半轴的具体表达式, 再通过分类讨论证明集合包含关系。本源在于“奇函数将正负半轴的图像对称化”。

第(3)问 是全题的核心。证明  时,反证法结合  ,取  使  1，再通过条件①、②导出矛盾。这里的本源是实数极限的保序性与确界原理。而证明单调递增时,先证明引理  1)，其中用到了无理数的小数部分稠密性 (即 Kronecker 逼近定理)。这一技巧将初等问题与数论、分析学紧密相连。

由此可见，本题的“源”不仅在于函数与集合的初等运算，更在于实数的完备性及无理数的分布性质。

3 流: 一般化推广与大学数学背景

3.1 定理1:底数一般化

将原题中的底数 2 推广为任意  ,得到如下定理。

定理 1 设  ,函数  满足: 当  时  ;

定义  。若  满足条件:

① 若  ,则  ;

② 当  时  ，

则 (i)  ; (ii)  在  上严格单调递增。

定理1的证明

(i) 证明

反证法。假设  。由于  1,存在  使得

因  ,即  , 由条件①得

(1)

取  ,则  ,且

故  。令  足够接近 0 使  , 由条件②得  ,即  , 与(1)矛盾。因此  。

(ii) 证明  在  上严格单调递增

引理1 对任意  ,有  。

证明: 反证法。假设存在  使  。由于  ,故  。由条件①得

取  ,则  , 且  ,所以  。

由(2)得  ,即

现在考虑实数  。由假设知  。利用确界原理, 存在数列  满足  且  。

由(3)得  ,令  得  。

另一方面,取  (当  充分接近  时  ) 则  。

由于  ,有  ,故  ,

由条件① 得  。

取  ,则  ,从而  ,即  ,

令  得  。

现在利用无理数的遍历性:若  是有理数，则存在正整数  使  为整数，反复应用(3)可推出矛盾; 若  是无理数,则集合 在  中稠密，

故存在  使  且  ,与条件②矛盾。

因此假设不成立，引理1得证。

引理2 对任意  ,有  (即  。

证明: 反证法。假设存在  使得  。由条件①得

(4)

取  充分小使得  。

由引理 1,  (因  ) 。

考虑点  与  。由于  在负半轴上为  ,严格递增,且  ,可得  。

利用平移不变性,构造增量  。当  足够小时,  。

可以验证  但  ,与(4)矛盾。

由引理2,对任意  ,令  ,则  ,即  。

故  在  上严格单调递增。

注:引理1中关于无理数的遍历性论证，可引用 Kronecker 逼近定理: 若  是无理数,则集合  在  中稠密。将  代入即得所需结论。该定理的证明可在数论或实分析教材中找到。

定理1证毕。

3.2 流的方向:从具体到抽象

流1: 负半轴函数的一般化

原题中负半轴函数  具有三个关键性质: 严格递增、左极限为 1 、值域  。

若将之替换为任意满足这些性质的函数  (例如  ,或更一般的严格递增连续函数且  ,则结论变为  ,且单调性仍成立。

这一推广将原题置于更一般的函数类中。

流2:位移集与Galois连接

条件①  实际上定义了一个反序映射。在序理论中，这样的映射称为 Galois连接。它诱导一个闭包算子, 是研究单调函数、凸分析中次微分的重要工具。原题可视为Galois连接的一个初等实例。

流3:无理数遍历性(Kronecker定理)

引理1中处理  为无理数时,利用 mod 1 } 在  中稠密,这本质上是 Kronecker 逼近定理。这一定理属于数论与动力系统的交叉领域，将其引入初等函数问题的证明, 体现了数学的连贯性。

流4: 确界原理与反证法

证明  时,通过取  使  介于  ) 与 1 之间，本质上使用了实数的 确界原理 (或等价地，极限的保序性)。这是数学分析的基础, 也是连接初等数学与高等数学的桥梁。

4 教学启示与教研建议

1. 重视新定义题型的“翻译”训练:学生应学会将抽象的集合条件转化为熟悉的不等式关系。

2. 渗透极限思想: 第(3)问中取  无限接近 0 的手法，是极限思想的直观体现，可在教学中结合函数连续性进行拓展。

3. 引导发现“无理数稠密性”:通过具体例子 (如  的小数部分) 让学生感受无理数倍分布的均匀性, 为理解 Kronecker 定理理下伏笔。

4. 从特殊到一般的推广训练:鼓励学生将底数 2 换成其他正数，甚至换成一般函数，培养抽象概括能力。

5. 连接高等数学:向优秀学生介绍 Galois 连接、Kronecker 定理等概念, 体会初等数学与高等数学的血脉联系。

5 结语

本文以一道2026高考全国1卷压轴题为“源”，剖析了其解法中的关键数学思想:极限、确界原理、反证法、无理数稠密性。进而以定理1为“流”, 将其推广至一般底数，并揭示了该题与Galois 连接、Kronecker定理等大学数学内容的深层关联。通过“源”与“流”的梳理，我们不仅完成了一道题的教学解读, 更展示了一条从具体问题到抽象理论的自然演进路径。这正体现了数学教育中“返璞归真，追本溯源”的理念。

作者:刘蒋巍(考研数学“源与流”命题分析范式首创人)

(图为刘蒋巍在常州工学院理学院作高等数学学习方法与考研专题讲座)